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      MBA聯(lián)考數(shù)學(xué)從數(shù)列遞推到N球配對(duì)知識(shí)點(diǎn)

      2015-02-03 10:48 | 太奇MBA網(wǎng)

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        MBA管理類聯(lián)考數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn):從數(shù)列遞推到N球配對(duì)問題

        今天太奇MBA小編給MBA同學(xué)們整理出求簡(jiǎn)單遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的通用解法,并由此思路解一個(gè)老題

        以下記A(N)為數(shù)列第N項(xiàng)

        1、已知A1=1,A(N)=2A(N-1)+1,求數(shù)列通項(xiàng)公式

        解:由題意,A(N)+1=2[A(N-1)+1]

        即 A(N)+1是以2為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列來源:www.examda.com

        因此 A(N)+1=2^N

        數(shù)列通項(xiàng)公式為 A(N)=2^N-1

        2、通用算法

        已知A1=M,A(N)=P*A(N-1)+Q,P《》1,求數(shù)列通項(xiàng)公式

        解:設(shè) A(N)+X=P*[A(N-1)+X]

        解得 X=Q/(P-1)

        因此 A(N)+Q/(P-1)是以A1+Q/(P-1)為首項(xiàng),P為公比的等比數(shù)列

        由此可算出A(N)通項(xiàng)公式

        3、已知A1和A2, A(N)=P*A(N-1)+Q*A(N-2),求數(shù)列通項(xiàng)公式

        解題思路:設(shè) A(N)+X*A(N-1)=Y*[A(N-1)+X*A(N-2)]

        代入原式可得出兩組解,對(duì)兩組X,Y分別求出

        A(N)+X*A(N-1)的通項(xiàng)公式

        再解二元一次方程得出A(N)

        注:可能只有一組解,但另有解決辦法。4、現(xiàn)在用上面的思路來解決一個(gè)著名的問題:

        N個(gè)球和N個(gè)盒子分別編號(hào)從1到N,N個(gè)球各放入一個(gè)盒子,求沒有球與盒子編號(hào)相同的放法總數(shù)。

        解:設(shè)A(N)為球數(shù)為N時(shí)滿足條件的放法(以下稱無配對(duì)放法)總數(shù),易知A1=0,A2=1,當(dāng)N》2時(shí),一號(hào)球共有N-1種放法,假設(shè)1號(hào)球放入X號(hào)盒子,在剩下的N-1個(gè)球和N-1個(gè)盒子中,如X號(hào)球正好放入1號(hào)盒子,問題等價(jià)于有N-2個(gè)球的無配對(duì)放法,放法總數(shù)為:A(N-2)

        在剩下的N-1個(gè)球和N-1個(gè)盒子中,如X號(hào)球沒有放入1號(hào)盒子,則可以把X號(hào)球看作1號(hào)球,問題等價(jià)于有N-1個(gè)球的無配對(duì)放法,放法總數(shù)為:A(N-1)

        因此有 A(N)=(N-1)*[A(N-1)+A(N-2)]

        上式可變換為: A(N)-NA(N-1)=-[A(N-1)-(N-1)*A(N-2)]

        按等比數(shù)列得出: A(N)-NA(N-1)=(-1)^N

        上式除以N!得出:

        A(N) A(N-1) (-1)^N

        ------- = ---------------- + -----------------

        N! (N-1)! N!

        把 A(N)/N!當(dāng)作新的數(shù)列, 把(-1)^N/N!也作為一個(gè)數(shù)列,則 A(N)等于數(shù)列 (-1)^N/N!從第二項(xiàng)到第N項(xiàng)的和再乘以N

        另外可得出:

        N球恰有K球與盒子配對(duì)的放法總數(shù)為: C(N,K)*A(N-K)

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